공장에서 조립공3명, 자동차 수리공 3명을 필요로 하는데 총 12명이 지원했다. 그 중 5명은 조립만을, 5명은 자동차수리만을 할 수 있다. 2명은 조립공과 자동차수리공 모두를 할 수 있을 때, 이 공장에서 인재를 뽑는 방법은 몇 가지 일까?

TO는 수리 3명, 조립 3명이다. 12명에서 이렇게 10명을 뽑아야 하는데 문제는 지원자 중 조립 및 수리 둘 다 가능한 2명이다. 이 둘 다 가능한 2명으로 경우를 나눈다.

  1. 둘 다 가능한 2명을 다 안 뽑을 경우.

    각 분야별로 5명중에 3명을 뽑는 경우임. $\therefore$ $_5C_3 \times _5C_3=100$

  2. 둘 다 가능한 사람 중 1명만 뽑을 경우

    2명 중 1명 뽑을 경우 : $_2C_1$

    1. 위 사람을 조립으로 뽑을 경우 $_2C_1 \times _{5조립}C_2 \times _{5수리}C_3$
    2. 위 사람을 수리로 뽑을 경우 $_2C_1 \times _{5조립}C_3 \times _{5수리}C_2$

    1)+2) = 400

  3. 둘 다 가능한 사람을 모두 뽑을 경우

    둘 다 조립으로 뽑은 경우 $_{5조립}C_1 \times _{5수리}C_3$

    둘 다 수리로 뽑은 경우 $_{5조립}C_3 \times _{5수리}C_1$

    조립 1명, 수리 1명으로 뽑는 경우 : $2!\times_{5조립}C_2\times_{5수리}C_2$

    위 경우를 전부 더하면 300

$\therefore$ 답 : 100 + 400 + 300 = 800가지

네 종류의 사탕 중에서 15개를 선택하려고 한다.초콜릿 사탕은 4개 이하, 박하사탕은 3개 이상, 딸기사탕은 2개이상, 버터사탕은 1개 이상을 선택하는 경우의 수를 구하라(단, 각 종류의 사탕은 15개씩 있다).

초콜릿: a, 박하:b, 딸기:c, 버터:d 라고 하면

$a+b+c+d = 15(a\leq4,b\geq3,c\geq2,d\geq1)$

$b,c,d$를 각각 최소값으로 먼저 선택했다고 하면(각각 3,2,1), 그리고 $a$를 일단 신경안쓰면, 이 때 경우의 수는 $_4H_9$ (15-6=9 에서 4개를 중복해서 고르는 문제)

여기에서 $a\geq5,b\geq3,c\geq2,d\geq1$ 인경우의 수를 빼면 된다. 이 경우는 $_4H_4$(15-11 = 4 에서 4개를 중복해서 고르는 문제)

$\therefore _4H_9 - _4H_4 = 220-35 = 185$

자릿수가 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 증가하는 두 자리 이상의 자연수는 모두 몇 개인가?

이 숫자중 가장 큰 숫자는 9자리

\(123456789\) : $_9C_0$

그 다음으로 큰 숫자는 이 중에서 한 자리를 선택해 빼는 것 : $_9C_1$

그 다음으로 큰 숫자는 이 중에서 두 자리를 선택해 빼는 것 : $_9C_2$

…

두 자리 숫자인 경우는 일곱 자리를 선택해 빼는 것 : $_9C_7$

그러므로 전체 경우의 수는 $_9C_0 + _9C_1 + … _9C_7 = 2^9-9-1 = 502$

$n$이 다섯자리 자연수이고 $n$을 100으로 나눈 몫과 나머지를 각각 $q,r$이라 할 때, $q+r$이 11의 배수가 되는 $n$의 개수를 $c$라고 하자. 이 $c$를 1000으로 나눈 나머지는?

$n = abdef$라고 하자. ($a,b,d,e,f$는 각 자리 수) 그럼

$n=abd + ef=q+r$

11의 배수 판정법은 (홀수번째 숫자합) = (짝수번째 숫자합)

만일 같지 않다면 (홀수번째 숫자합) - (짝수번째 숫자합) = 11로 나눈 나머지 .

그런데 $q+r$이 11의 배수가 되므로 $(a-b+d)+(-e+f) \equiv0(mod11)$

$\therefore n$ 전체가 11의 배수라는 것이다.

5자리 범위의 수 중 11의 배수의 갯수는 다음과 같다.

10000에 가까운 11의 배수 : 10010,

99999에 가까운 11의 배수 : 99990

11의 배수의 갯수는 $c = \frac{99990-10010}{11} = 8180$

그러므로 1000으로 나눈 나머지는 180

1부터 n까지 연속하는 자연수의 집합을 칠판에 적어두었다. 그 중 한 수를 지우고 평균을 내었더니 $35+\frac{7}{17}$이었다. 지워진 수를 구하여라.

$1+2+3…+n - a$ (여기에서 $a$는 지우는 수)

$1+2+3+..+n = \frac{n(n+1)}{2}$ 그러므로

$\frac{\frac{n(n+1)}{2}-a}{n-1} = \frac{35\times17+7}{17}$

$\frac{n(n+1)}{2}-a = \frac{35\times17+7}{17} \times (n-1)$

좌항은 자연수여야 하므로 $(n-1)$은 17의 배수임.

평균이 35 언저리 이므로 n은 얼추 70정도 까지의 합으로 예상됨. 70에 가까운 17의 배수는 68임

$\therefore n = 68 + 1 = 69$

위 식에 $n=69$를 대입하여 $a$를 구하면

$a = 7$