요즘에는 가끔 경시수학 문제를 접할 일이 있어 풀이를 적고 있다. 어떻게 보면 알고리즘 문제들과 연관이 있어 보여 여기에 남겨 본다…

1. 14자리의 자연수 중에서 이웃하는 자리의 수의 차가 항상 4인 것의 갯수를 구하라

(즉 151515151515와 같은 수의 개수를 구하는 것이다)

  • 9-5-1 의 경우

    • 9로 시작 : 9 5_5_5.... _5

      • 언더바 부분에 들어갈 수 있는 숫자의 개수는 2개(9,1). 언더바는 14자리중 6개
      • 그러므로 \(2^6=64\) 개

    • 5로 시작 : 5_5_5_ ...

      • 언더바 부분에 들어가는 숫자는 개수는 2개(9,1). 언더바는 14자리중 7개
      • 그러므로 \(2^7 = 128\) 개

    • 1로 시작 : 1 5_5_5_ ...

      • 언더바 부분에 들어가는 숫자는 개수는 2개(9,1). 언더바는 14자리중 6개
      • 그러므로 \(2^6 = 64\) 개

  • 8-4-0의 경우

    • 8로 시작 : 84_4_...
      • 언더바 에 들어갈 숫자는 8,0. 언더바는 14자리중 6개
      • 84_4_.... \(2^6 =64\)
    • 4로 시작 : 4_4_. ... \(2^7=128\)

  • 7-3

    • 737373…
    • 3737373…
    • 2가지 경우

  • 6-2

    • 626262

    • 262626

    • 2가지

      \[2\times2 = 4\]

전체 : 256 + 192 + 4 = 452가지

2. 양의 정수 n은 60개의 양의 약수를 갖고, 7n은 80개의 양의 약수를 갖는다. n을 나누는 7에 대한 최대 지수를 구하여라

n은 7로 나누어 떨어지는 수라 생각하면(7n이 80개의 약수를 가지므로..)

\[n = 7^k \times m ((m,n)=1)\]

n의 약수의 갯수를 T(n)이라고 하면

\[T(n)=60 = (k+1)\times T(m)\]

\(7n = 7^{k+1}\times m\)이므로

\[T(7n) = 80=(k+2)\times T(m)\]

위 두 식을 연립하여 풀면 \(k=2, T(m)=20\) 그러므로 최대 지수 \(k=2\)

3. 자연수 n에 대해 \(n^{11} + n^{12} + .... n^{20} -10\) 이 \((n-1)^2\)으로 나누어 떨어질 때 n의 최대값을 구하시오

위 식을 $(n-1)$로 나눈다면 ..

$(n-1)(n^{19} + 2n^{18} + 3n^{17}+ … + 9n^{11}+10n^{10}+ 10n^9 + 10n^8 + … 10n +10)$

로 정리된다. 이 말은 위 식은

\[(n-1)^2\]

로도 나누어 떨어진다는 의미.

그러므로

$(n-1)｜(n^{19} + 2n^{18} + 3n^{17}+ … + 9n^{11}+10n^{10}+ 10n^9 + 10n^8 + … 10n +10)$에서

$(n-1)｜55 + 10 \times 10 = 155$

$n=156$

4. 1<a<b<c이고 (a-1)(b-1)(c-1) 을 abc-1의 약수가 되게 하는 자연수 a,b,c를 구하여라

편의를 위해 a,b,c를 다음과 같이 정한다.

$a = x + 1, b=y+1, c=z+1$

$abc-1 = (x+1)(y+1)(z+1)-1=xy+yz+xz + x+y+z$

$(a-1)(b-1)(c-1) = xyz$

$abc-1$의 약수가 $(a-1)(b-1)(c-1)$ 이므로

$A = \frac{xy+yz+xz+x+y+z}{xyz} = \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz}$

A의 최대값은 x,y,z에 각각 1,2,3을 대입하면 구해짐 (1<a<b<c 이므로)

$A < 2+ \frac{5}{6}, A=1or2$

$x=1$ 일때 $A=1$을 만족하는 $y,z$를 구해보면

$x=1,y=3$인 경우(아까 x=1, y=2 대입 해 봤음) $z=7$이 나옴. (자연수 만족)

$x=1, y=3$ 일때 $A=2$을 만족하는 $z$를구하면 음수가 나옴(자연수 안됨)

$x=2$ 일때 $A=1$을 만족하는 $y,z$를 구해보면

$x=2,y=3$인 경우 $z$를 구할 수 없음 ($6z+…=6z$꼴)

$x=2, y=4$ 일때 $A=1$을 만족하는 $z=14$가 나옴

$x=2, y=4$ 일때 $A=2$을 만족하는 $z=14/19$ (자연수 아님)

$x=3$이면 만족하는 자연수 $y,z$는 안나옴

따라서 $(x,y,z) = (2,4,14),(1,3,7)$ 이며, $(a,b,c)=(3,5,15),(2,4,8)$이 됨

5. 자연수 n에 대하여 p(n)은 n의 모든 양의 약수의 곱이라고 정의하자 p(n)이 완전제곱수가 되는 2310의 양의 약수는 몇 개인지 구하여라

$2310 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11$

  • 먼저 2개의 약수를 고른다면 약수의 갯수는 5개에서 2개를 고르는 경우이므로 $_5C_2=10$개
    • 약수의 갯수(P(n)) : (지수 + 1)의 곱이므로 $(1+1)\times (1+1)=4$
  • 3개의 약수를 고른다면 5개에서 3개를 고르는 경우: $_5C_3 = 10$개
    • 약수의 갯수 : $(1+1)\times (1+1)\times (1+1) = 8$
  • 4개의 약수를 고른다면 : $_5C_4 = 5$
    • 약수의 갯수 : $(1+1)\times (1+1)\times (1+1)\times (1+1) = 16$
  • 5개면 : $_5C_5=1$
    • 약수의 갯수 : $2^5 = 32$
  • 1은 모든수의 약수이므로 1

전부 하면 $10+10+5+1+1=27$개

6. 양수 $x,y,z$ 에 대하여 $x^2+xy+y^2=7, y^2+yz+z^2=4, x^2+xz+z^2=3$ 을 만족할 때, $x+y+z$ 를 구하여라

  1. $x^2+xy+y^2=7$
  2. $y^2+yz+z^2=4$
  3. $x^2+xz+z^2=3$

(1)+(2)+(3) 을 하면 $2(x^2+y^2+z^2) + xy + yz+ xz = 14$

그리고 $X=x + y + z$라 하면 $X^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+xz)$

코사인 제2법칙을 응용해 보자 ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$)

(1)식에서 코사인 제2법칙과 비교하면 $-2xy\cos(\angle xy) = xy$

$ \cos(\angle xy) = -\frac{1}{2}$ $\therefore \angle xy = 120º$

(2), (3) 식도 같이 비교하면 $\angle yz, \angle xz$ 모두 120º 이다.

삼각형의 면적으로 비교하면(삼각형은 직각삼각형). $\frac{1}{2} \times \sqrt3 \times \sqrt4= \frac{1}{2} \times xy \times \sin120º + \frac{1}{2} \times yz \times \sin120º + \frac{1}{2} \times xz \times \sin120º$ 에서

$xy + yz + xz = 4$

$2(x^2 + y^2 + z^2) + 4 = 14$ 가 되므로 $x^2 + y^2 + z^2 = 5$

$\therefore X^2 = 5 + 2 \times 4 = 13$

$X = \sqrt {13}$